Il valore atteso matematico, indicato come $E(X)$ o $\mu_X$, rappresenta la misura fondamentale della tendenza centrale per una variabile casuale. Esso rappresenta il valore medio "a lungo termine" ottenuto in ripetute prove. Fisicamente, esso corrisponde al centro di massa di una distribuzione di probabilità, calcolato come somma pesata secondo la probabilità di tutti i possibili risultati.
Definizioni Formali
Per le variabili casuali discrete, definiamo il valore atteso sulla base della Funzione di Massa di Probabilità (PMF):
Definizione 3.1.1
Sia $X$ una variabile casuale discreta. Il valore atteso è:
$$E(X) = \sum_{x \in R^1} x P(X = x) = \sum_{x \in R^1} x p_X(x)$$
Definizione 3.1.2
Se $X$ assume valori distinti $x_1, x_2, \dots$ con probabilità $p_i$, allora:
$$E(X) = \sum_i x_i p_i$$
La Legge dello Statistico Inconscio (LOTUS)
Per trovare il valore atteso di una variabile trasformata $g(X)$, non è necessario derivare preventivamente la densità di $g(X)$.
Teorema 3.1.1 (LOTUS)
Per qualsiasi funzione $g$, il valore atteso di $g(X)$ è la somma dei valori della funzione pesata dalle probabilità originali:
$E(g(X)) = \sum_{x} g(x) P(X=x)$
Proprietà Fondamentali
- Linearità (Teorema 3.1.2): $E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)$. Questa proprietà vale anche se $X$ e $Y$ sono dipendenti!
- Monotonia (Teorema 3.1.4): Se $X(s) \le Y(s)$ per ogni risultato $s$, allora $E(X) \le E(Y)$.
- Indipendenza (Teorema 3.1.3): Se $X$ e $Y$ sono indipendenti, $E(XY) = E(X)E(Y)$.
Esempio 3.1.6: Indicatori
Per una funzione indicatrice $I_A$, dove $X=1$ se $A$ si verifica e $0$ altrimenti:
$E(I_A) = (1)P(A) + (0)P(A^c) = P(A)$